\appendix
\section{Enunciado}
\begin{centering}
\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Primer cuatrimestre 2009 \\
\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 3: Cuando pase el temblor ... \\
\end{centering}

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El trabajo pr\'actico consiste en evaluar la resistencia s\'\i smica de un
edificio de varios pisos que funciona como dep\'osito, proponiendo un plan de
reubicaci\'on del dep\'osito lo m\'as eficiente posible.

\textbf{El modelo}

Consideremos un edificio de $n$ pisos como en la Figura~1. Un modelo sencillo
para estudiar el comportamiento de un terremoto sobre el edificio consiste en
considerar cada piso $i=1,\dots,n$ como un bloque de masa $m_i$, unido a los
pisos adyacentes por medio de un conector el\'astico cuya acci\'on se parece
a la de un resorte. Para $i=0,\dots,n-1$, la uni\'on entre los pisos $i$ e
$i+1$ suministra una fuerza de restituci\'on
\begin{displaymath}
F_i\ =\ k_i (x_{i+1}-x_i),
\end{displaymath}
donde $x_i:\real_+\to\real$ representa el desplazamiento
horizontal del $i$-\'esimo piso en cada instante (asumimos que $i=0$ corresponde
al suelo y que $x_0=0$). Aplicando la segunda ley de Newton del movimiento,
$F = ma$, a cada secci\'on del edificio, obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales lineales:
\begin{eqnarray}
m_1 x''_1 & = & -k_0 x_1 + k_1 (x_2-x_1) \nonumber \\
m_2 x''_2 & = & -k_1 (x_2-x_1) + k_2 (x_3-x_2) \nonumber \\
m_3 x''_3 & = & -k_2 (x_3-x_2) + k_3 (x_4-x_3) \nonumber \\
\vdots &  & \vdots \nonumber \\
m_n x''_n & = & -k_{n-1} (x_n-x_{n-1}) \nonumber \\
\end{eqnarray}
Escrito en forma matricial, este
sistema toma la forma $MX'' = KX$, donde $M\in\real^{n\times n}$ es una matriz
diagonal con las masas de los pisos y $K\in\real^{n\times n}$ es una matriz
tridiagonal con los coeficientes de rigidez adecuados:
\begin{eqnarray}
M & = & \left( \begin{array}{cccc}
								   m_1 & 0   & \dots & 0 \\
								   0   & m_2 & \dots & 0 \\
								   \vdots &  &       & \vdots \\
								   0   & 0   & \dots & m_n \\
								\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
K & = & \left( \begin{array}{ccccccc}
							     -(k_0+k_1) & k_1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
							     k_1 & -(k_1+k_2) & k_2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
							     0 & k_2 & -(k_2+k_3) & k_3 & \dots & 0 & 0 \\
							     \vdots & & & & & & \vdots \\
							     0 & 0 & 0 & 0 & \dots & k_{n-1} & -k_{n-1} \\
							 \end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Como $m_i>0$ para
$i=1,\dots,n$, entonces $M$ tiene inversa y el sistema se puede reescribir
como $X'' = (M^{-1} K) X = AX$, donde $A = M^{-1} K$ tiene autovalores negativos.

Sean $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ los autovalores de $A$. Los valores
$\omega_i=\sqrt{-\lambda_i}$, para $i=1,\dots,n$, representan las frecuencias
naturales del sistema, e indican la estabilidad del edificio durante un
terremoto. Si la frecuencia del sismo es muy pr\'oxima a alguna de estas
frecuencias, hay riesgo de que el edificio entre en resonancia y colapse.

\textbf{El problema}

Nos encontramos en el dep\'osito de lavarropas de una conocida casa de 
electrodom\'esticos, y se avecina un terremoto sobre nuestra ciudad. Nuestro
informante en el Departamento de Geolog\'\i a de la FCEyN nos ha
avisado que el terremoto tendr\'a una frecuencia de $\omega = 3\ \hbox{Hz}
= 3 \frac{1}{\hbox{seg}}$.

El edificio completo se utiliza como dep\'osito de un \'unico modelo de
lavarropas de masa $p$, de modo tal que si el piso $i$ tiene $t_i$ 
art\'\i culos, entonces su masa es $m_i = m_0+t_ip$.
El problema que debemos resolver -y r\'apidamente- consiste en determinar
cu\'antos lavarropas debemos quitar de cada piso (reubicandolos en otros
pisos) para que ninguna de las frecuencias naturales del dep\'osito
se encuentre a menos del 10\% de la frecuencia $\omega$ del terremoto (es decir,
para que cada frecuencia $\omega_i$ cumpla $\omega_i\not\in[2.7,3.3]$).
La soluci\'on \'optima del problema es aquella que permite evitar que el
edificio colapse, reubicando la menor cantidad posible de lavarropas.

\textbf{El enunciado}

El trabajo pr\'actico consiste en implementar un programa que permita 
resolver este problema. La soluci\'on propuesta debe indicar cu\'antos 
lavarropas quitar de cada piso, y a qu\'e pisos se deben llevar dichos
lavarropas. Puede utilizarse una heur\'\i stica para obtener el plan
de reubicaci\'on de lavarropas, a criterio del grupo. En caso
de que se implemente m\'as de un algoritmo para resolver este problema, el
informe deber\'a contener los resultados de los experimentos realizados para
compararlos. 

El programa debe incluir una implementaci\'on de
alg\'un algoritmo para calcular los autovalores de una matriz cuadrada, que
deber\'a ser utilizado durante el proceso de decisi\'on. El programa debe
tomar los datos desde un archivo de texto con el siguiente formato:
\begin{eqnarray}
 & & n\ p\ \: m_0 \nonumber \\
 & & k_0\ k_1\ \dots\ k_{n-1} \nonumber \\
 & & t_1\ t_2\ \dots\ t_n \nonumber
\end{eqnarray}
El informe debe incluir los resultados del algoritmo implementado sobre
las instancias de prueba que acompa\~nan al presente enunciado.
El grupo que obtenga la mejor redistribuci\'on de lavarropas para estas
instancias se har\'a acreedor a una orden de compra por un
monto a determinar en la casa de electrodom\'esticos que auspicia este
trabajo pr\'actico.

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Fecha de entrega: Lunes 22 de Junio